L    S    PHÁP                    LSP GV-Tr  ng THPT Tuy Phong

Chuyên đề số phức – Lư Sĩ Pháp

Chuyên      S    PH  C  Trang   1   |   https://toanmath.com/  CHUYÊN      S    PH  C  D  NG   1.   S    PH  C   VÀ   CÁC   PHÉP   TOÁN  Câu   1.   Cho   s    ph  c       3   2 z   i   .   Tìm   ph  n   th  c   và   ph  n    o   c  a   s    ph  c   z   .  A.   Ph  n   th  c   b  ng   3,   ph  n    o   b  ng   2.   B.   Ph  n   th  c   b  ng    3   ,   ph  n    o   b  ng   2.  C.   Ph  n   th  c   b  ng   3,   ph  n    o   b  ng    2   .   D.   Ph  n   th  c   b  ng    3   ,   ph  n    o   b  ng    2 .  Câu   2.   Cho   s    ph  c       3   2 z   i   .   Tìm   ph  n   th  c   và   ph  n    o   c  a   s    ph  c   z   .  A.   Ph  n   th  c   b  ng   3,   ph  n    o   b  ng   2.   B.   Ph  n   th  c   b  ng    3   ,   ph  n    o   b  ng   2.  C.   Ph  n   th  c   b  ng   3,   ph  n    o   b  ng    2   .   D.   Ph  n   th  c   b  ng    3   ,   ph  n    o   b  ng    2   .  Câu   3.   Tìm   s    ph  c   liên   h  p   c  a   s    ph  c       (3   1) z   i   i   .  A.       3   . z   i   B.       3   . z   i   C.       3   . z   i   D.       3   . z   i  Câu   4.   S    th  c   th  a   mãn                2   (5   )   (   1)   5 y i   x   i   là:  A.             3 0  x y   .   B.             6 3  x y   .   C.             3 0  x y   .   D.             6 3  x y   .  Câu   5.   Cho   s    ph  c       1 z   i   .   Tính   mô  un   c  a   s    ph  c         2 1  z   i w   z   .  A.      2 w   .   B.      2. w   C.      1 w   .   D.      3 w   .  Câu   6.   Cho   s    ph  c   z   tùy      Xét   các   s    ph  c             2 2  w   z   z   và          (   ) v   zz   i z   z   .   Khi      A.   w   là   s    th  c,   v   là   s    th  c;   B.   w   là   s    th  c,   v   là   s  o;  C.   w   là   s  o,   v   là   s    th  c;   D.   w   là   s  o,   v   là   s  o.  Câu   7.   (NB).   Thu   g  n              2   3   2     3 z   i   i   ta    c  A.      4 z   .   B.    9 z   i   .   C.       4   9 z   i   .   D.      13 z   .  Câu   8.   (NB).   Cho   s    ph  c       1   3 z   i   .   Khi      A.        1   1   3 2   2   i z   .   B.        1   1   3 2   2   i z   .   C.        1   1   3 4   4   i z   .   D.        1   1   3 4   4   i z   .  Câu   9.   Tìm   ph  n   th  c,   ph  n    o   c  a   s    ph  c   sau:             3   2 1  i   i z   i   i   .  A.   Ph  n   th  c:      2 a   ;   ph  n    o:    4 b   i   .   B.   Ph  n   th  c:      2; a   ph  n    o:    4 b   .  C.   Ph  n   th  c:      2 a   ;   ph  n    o:      4 b   i   .   D.   Ph  n   th  c:    2 a   ;   ph  n    o:      4 b   .  Câu   10.   Cho   s    ph  c       2   3 z   i   khi       z z   b  ng  A.    5   12 . 13  i   B.    5   6 . 11  i   C.    5   12 . 13  i   D.    5   6 . 11  i  Câu   11.   Cho   s    ph  c                    2017 1 1  i z   i   .   Tính          5   6   7   8  z   z   z   z   .  A.   i   .   B.   1.   C.   0.   D.    i   .  Câu   12.   G  i   1   2 , z   z   là   hai   nghi  m   ph  c   c  a   ph  ng   trình          2   2   0 z   z   .   Ph  n   th  c   c  a   s    ph  c                      2017 1   2  i   z   i   z   là  A.      2016 2   .   B.      1008 2   .   C.   1008 2   .   D.   2016 2   .Chuyên      S    PH  C  Trang   2   |   https://toanmath.com/  Câu   13.   Rút   g  n   s    ph  c                (2   4 )   (3   2 ) z   i   i   i   ta    c  A.       5   3 z   i   B.   z   =    1      2i.   C.   z   =   1   +   2i.   D.   z   =    1     Câu   14.   K  t   qu    c  a   phép   tính              2   3   4 i   i   là  A.   6      14i.   B.    5      14i.   C.   5      14i.   D.   5   +   14i.  Câu   15.   Ph  n   th  c   c  a   s    ph  c                   3 1   2   1  i z   i   i   là  A.   4 5   B.      4 5   C.   3 5   D.      3 5  Câu   16.   Ph  n    o   c  a   s    ph  c             5 2 z   i   là:  A.   41   B.    38   C.    41   D.   38  Câu   17.   Ph  n   th  c   c  a   s    ph  c                        2012   2012 1   1 z   i   i   có   d  ng    2 a   v  i   a   b  ng:  A.   1007   B.   1006   C.   2012   D.   2013  Câu   18.   Cho   hai   s    ph  c   1  z   và   2  z   th  a   mãn             1   2   1   2 1,   3 z   z   z   z   .   Khi        1   2  z   z   b  ng:  A.   1   B.   3   C.    1   3   D.   0  Câu   19.   Cho   s    ph  c             1   2 1   7 ;   3   4 . z   i z   i   Tính   mô  un   c  a   s    ph  c    1   2   . z   z  A.       1   2   5. z   z   B.       1   2   2   5. z   z   C.       1   2   25   2. z   z   D.       1   2   5. z   z  Câu   20.   Cho   hai   s    ph  c       1   1   2 z   i   và       2   2   4 z   i   .   Xác    nh   ph  n    o   c  a   s    ph  c    1   2 3   2 z   z   ?  A.   14   B.   14 i   C.    2   D.    2 i  Câu   21.   Cho   s    ph  c        1   3 2   2  z   i   .   S    ph  c       2  z   b  ng?  A.        1   3 . 2   2   i   B.        1   3 . 2   2   i   C.    1   3 . i   D.    3   . i  Câu   22.   cho   s    ph  c       1   2 z   i   .   Tìm   ph  n    o   s    ph  c   w   bi  t          2   1 . w   z   z   z  A.      11 . 5   B.      32 . 5   C.   32 . 5   D.   11 . 5  Câu   23.   cho   s    ph  c                 ,   . z   a   bi a b   S    ph  c   2  z   có   ph  n   th  c   là:  A.    2   2   . a   b   B.    2   2   . a   b   C.      . a   b   D.      . a   b  Câu   24.   Tìm   ph  n   th  c   và   ph  n    o   c  a   s    ph  c                                       2   10 1   1   ...   1 z   i   i   i  A.   Ph  n   th  c   c  a   z   là   31,   ph  n    o   c  a   z   là   33.   B.   Ph  n   th  c   c  a   z   là   31,   ph  n    o   c  a   z   là   33 . i  C.   Ph  n   th  c   c  a   z   là   33,   ph  n    o   c  a   z   là   31.   D.   Ph  n   th  c   c  a   z   là   33,   ph  n    o   c  a   z   là   31 . i  Câu   25.   S    ph  c    2   3 i   có   mô    un   b  ng:  A.   5.   B.    2   3   C.    2   3.   D.    2   3 .  Câu   26.   Th  c   hi  n   phép   tính      2 1   2  i i   ta    c   k  t   qu  :  A.     4   3 . 5   5   i   B.     4   5   3   5 . 5   5   i   C.       3   . i   D.     4   3 . 5   5   i  Câu   27.   Trong   các   s    ph  c   sau   s    ph  c   nào   có   mô    un   nh    nh  t?

Tuyển tập 235 bài tập trắc nghiệm số phức có lời giải chi tiết

https://toanmath.com/  GTLN - GTNN   C    SỐ PHỨC  A. BÀI TOÁN C  C TR    C  A S    PH  C I. CÁC BÀI TOÁN QUI V    BÀI TOÁN TÌM GIÁ TR    L  N NH  T, NH    NH  T C  A HÀM M  T BI  N  1. PHƯƠNG PHÁP  Bài toán: Trong các s    ph  c   z   tho    mãn đi  u ki  n T. Tìm s    ph  c z đ    bi  u th  c P đ  t giá tr    nh   nh  t, l  n nh  t T     u ki  n T, bi    tìm cách rút    n r  i th    vào bi  u th     c hàm m  t bi  n. Tìm giá tr    l  n nh  t (ho  c nh    nh  t) tu    theo yêu c  u bài toán c  a hàm s    m  t bi  n v  c.  II. CÁC BÀI TOÁN QUI V    BÀI TOÁN TÌM GIÁ TR    L  N NH  T, NH    NH  T C  A M  T BI  U TH  C HAI BI  N MÀ CÁC BI  N THO    MÃN ĐIỀ U KI  C.  1. PHƯƠNG PHÁP:     gi  c l  p bài toán này, chúng tôi cung c  p cho h  c sinh các b  ng th    b  ng th  c liên h    gi  a trung bình c  ng và trung bình nhân, b  ng th  c Bunhia- C  pxki, b  ng th  c hình h  c và m  t s    bài toán công c    sau: U BÀI TOÁN CÔNG C    1: U  Cho đườ ng tròn   (   ) T   c     m A c     ng tròn   (   ) T   . Hãy xác đị nh v    trí điể m M sao cho AM l  n nh  t, nh    nh  t. U Gi  i:  TH1: A thu  ng tròn (T)  Ta có: AM đạ t giá tr    nh    nh  t b  ng 0 khi M trùng v  i A  AM đạ t giá tr    l  n nh  t b  i x  ng v  i A qua I  TH2: A không thu  ng tròn (T)  G  m c  ng th  ng tròn (T); Gi    s    AB < AC.  +) N  u A n  ng tròn (T) thì v  m M b  t kì trên (T), ta có:  AM   AI   IM   AI   IB   AB       =      =   .   ng th  c x  y ra khi   M   B   AM   AI   IM   AI   IC   AC    +   =   +   =   .   ng th  c x  y ra khi   M   C  +) N  u A n  ng tròn (T) thì v  m M b  t kì trên (T), ta có:  AM   IM   IA   IB   IA   AB       =      =   .   ng th  c x  y ra khi   M   B   AM   AI   IM   AI   IC   AC    +   =   +   =   .   ng th  c x  y ra khi   M   C  V  y khi M trùng v  t gía tr    nh    nh  t. V  y khi M trùng v  t gía tr    l  n nh  t. U BÀI TOÁN CÔNG C    2: U  Cho hai đườ ng tròn   1 (   ) T   có tâm I, bán kính R   R 1   R ; đườ ng tròn   2 (   ) T   có tâm J, bán kính R   R 2   R . Tìm v    trí c  m M trên   1 (   ) T   , điể m N trên   2 (   ) T   sao cho MN đạ t giá tr    l  n nh  t, nh    nh  t.https://toanmath.com/  U Gi  i:  G  ng th   d c  ng tròn   1 (   ) T   t  m phân bi  t A, B (gi    s    JA > JB) ; d c  t   2 (   ) T   t  m phân bi  t C, D ( gi    s    ID > IC). V  m M b  t khì trên   1 (   ) T   và điể m N b  t kì trên   2 (   ) T   . Ta có:   1   2 MN   IM   IN   IM   IJ   JN   R   R   IJ   AD    +      +   +   =   +   +   =   .   ng th  c x  y ra khi M trùng v  i A và N trùng v  i D 1   2 MN   IM   IN   IJ   IM   JN   IJ   R   R   BC                =      +   =   .   ng th  c x  y ra khi M trùng v  i B và N trùng v  i C. V  y khi M trùng v  i A và N trùng v  t giá tr    l  n nh  t. khi M trùng v  i B và N trùng v  t giá tr    nh    nh  t. U BÀI TOÁN CÔNG C    3: U Cho hai    ng tròn   (   ) T   có tâm I, bán kính R; đườ ng th  ng      không có điể m chung v  i   (   ) T   . Tìm v   trí c  m M trên   (   ) T   , điể m N trên      sao cho MN đạ t giá tr    nh    nh  t. U Gi  i:  G  i H là hình chi  u vuông góc c  a I trên d   n IH c  ng tròn   (   ) T   t  i J V  i M thu  ng th  ng      , N thu  ng tròn   (   ) T   , ta có:  MN   IN   IM   IH   IJ   JH   const             =   =   .   ng th  c x  y ra khi   ; M   H N   I     V  y khi M trùng v  i H; N trùng v  t giá tr    nh    nh  t.  B –   BÀI TẬP  Câu 1.   Trong các số phức thỏa mãn điều kiện   3   2   . z   i   z   i +   =   +      Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?  A.   1   2 5   5  z   i = −   +   .   B.   1   2 5   5  z   i =      .   C.   1   2 z   i = − +   .   D.   1   2 z   i =      .  Câu 2.   Trong các số phức   z   thỏa mãn   2   4   2 z   i   z   i       =      . Số phức   z   có môđun nhỏ nhất là  A.   3   2 z   i =   +   B.   1 z   i = − +   C.   2   2 z   i = −   +   D.   2   2 z   i =   + Câu 3.   Cho số phức   z   thỏa mãn   1    =    z   z   i   . Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức   w   2   2 =   +    z   i   .  A.   3   2 2   .   B.   3 2   .   C.   3   2   .   D.   3 2   2   .  Câu 4.   Cho số phức   z   thỏa mãn   3   4   1 z   i       =   . Tìm giá trị nhỏ nhất của   z   .  A.   6   .   B.   4   .   C.   3   .   D.   5   .

Bài toán GTLN – GTNN của môđun số phức

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm và tổng hợp  (  )  300 CÂU TỔNG ÔN SỐ PHỨC Môn: Toán  Thời gian làm bài   phút (300 câu trắc nghiệm)  Họ và tên thí sinh:   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Mã đề thi 903 Câu 1.   Tập hợp các điểm biểu diễn số phức   z   thỏa mãn   2 | z      i |   =   | z      z   + 2i |   là  A Một đường thẳng.   B Một parabol.   C Một điểm.   D Một đường tròn.  Câu 2.   Cho hai số phức   z 1   và   z 2   thỏa mãn   | z 1      1 + 2 i |   = 1 ,   | z 2      3      i |   = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của   | z 1      z 2 |   .  A    13 + 3 .   B    13 + 4 .   C    13 + 6 .   D    13 + 2 .  Câu 3.   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      2 |   = 2 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức   w   = 1 2 (1 +   i ) z  trên mặt phẳng tọa độ   ( Oxy )   là một đường cong có độ dài bằng  A   2  2 .   B   4  .   C   2  2  .   D   4 .  Câu 4.   Cho số phức   z   =   a   +   bi   ( a ,   b   là các số thực) thỏa mãn   | z |   =   |  ̄ z      3 + 4 i |   và có mô-đun nhỏ nhất. Giá trị của   P   =   ab   là  A   2 .   B   3 4 .   C   3 .   D   4 .  Câu 5.   Tìm số phức   z   thỏa mãn   | z      3 |   =   | z      1 |   và   ( z   + 2)( z      i )   là số thực.  A   z   =    2 + 2 i .   B   z   = 2      2 i .   C Không có   z .   D   z   = 2 .  Câu 6.   Cho số phức   z   =   a   +   bi   ( a, b      R )   thỏa mãn phương trình   ( | z | −   1)(1 +   iz )  z      1  z  =   i . Tính  P   =   a   +   b .  A   P   = 1    2 .   B   P   = 0 .   C   P   = 1 .   D   P   = 1 +    2 .  Câu 7.   Cho số phức   z      C   thỏa mãn   (2 +   i ) | z |   =   17  z   + 1      3 i . Mệnh đề nào dưới đây đúng?  A   2   <   | z |   <   3 .   B   1 2   <   | z |   <   3 4 .   C   0   <   | z |   <   1 2   .   D   1 2   <   | z |   <   3 2   .  Câu 8.   Cho số phức   z   =   (  3 +    5 i ) 2018 . Biết phần ảo của   z   có dạng   a   +   b  3 +   c  5 +   d  15 , trong các số   a, b, c, d   có đúng bao nhiêu số bằng   0 ?  A   1 .   B   4 .   C   3 .   D   2 .  Câu 9.   Có bao nhiêu số phức   z   thỏa mãn   (1 +   i ) z   + 2 z   = 3 + 2 i . Tính giá trị   P   =   a   +   b .  A   P   =    1 2 .   B   P   =    1 .   C   P   = 1 .   D   P   = 1 2   .  Câu 10.   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      1 |   = 5 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức   w   xác    w   = (2 + 3 i )      z   + 3 + 4 i   là một đường tròn bán kính   R . Tính   R .  A   R   = 5  10 .   B   R   = 5  17 .   C   R   = 5  13 .   D   R   = 5  5 .  Câu 11.   Cho hai số phức   z 1 , z 2   thỏa mãn   | z 1    z 2 |   =   | z 1 |   =   | z 2 |   >   0 . Tính   A   =  (   z 1  z 2  ) 4  +  (   z 2  z 1  ) 4  .  A   1 .   B   1 +   i .   C    1 .   D   1      i .  Câu 12.   Trên mặt phẳng phức   Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của số phức   z   thỏa mãn điều kiện  | z   + 2      5 i |   = 6   là đường tròn có tâm và bán kính lần lượt là  A   I (2;    5) ,   R   = 36 .   B   I (  2; 5) ,   R   = 36 .   C   I (2;    5) ,   R   = 6 .   D   I (  2; 5) ,   R   = 6 .  Câu 13.   Cho số phức   z   thỏa mãn điều kiện   | z      1      2 i |   +   | z      3 |   =      7 + 3 i   . Tìm giá trị nhỏ nhất của   P   =   | z      2      i | .  A   P   =    2 .   B   P   =    3 .   C   P   = 2 .   D   P   = 3 . Trang 1/24      Mã đề 903Câu 14.   Xét số phức   z   thỏa mãn   | z   + 1      3 i |   = 5 . Khi đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức   z   là   A tâm   I   (1;    3) , bán kính   R   = 25 .   B tâm   I   (  1; 3) , bán kính   R   = 5 .  C tâm   I   (1;    3) , bán kính   R   = 5 .   D tâm   I   (  1; 3) , bán kính   R   = 25 .  Câu 15.   Cho số phức   z   =   a   +   bi   (với   a, b      R ) thỏa   | z |   (2 +   i ) =   z      1 +   i   (2 z   + 3) . Tính  S   =   a   +   b .  A   S   = 1 .   B   S   =    1 .   C   S   = 7 .   D   S   =    5 .  Câu 16.   Cho số phức   z   =   a   +   bi   ( a, b      R )   thỏa mãn   | z |   = 5   và   z (2 +   i )(1      2 i )   là một số thực. Tính   P   =   | a |   +   | b | .  A   P   = 7 .   B   P   = 5 .   C   P   = 8 .   D   P   = 4 .  Câu 17.   Tìm số phức   z   thỏa mãn hệ thức   | z      (2 +   i ) |   =    10   và   z       ̄ z   = 25 .  A   z   =    3 + 4 i ;   z   = 5 .   B   z   = 3 + 4 i ;   z   =    5 .  C   z   = 3 + 4 i ;   z   = 5 .   D   z   = 3      4 i ;   z   =    5 .  Câu 18.   Cho số phức   z   thỏa mãn điều kiện   | z 2      2 z   + 5 |   =   | ( z      1 + 2 i )( z   + 3 i      1) | . Giá trị nhỏ nhất của   | z      2 + 2 i |   bằng  A   3 2 .   B   1 .   C    5 .   D   5 2   .  Câu 19.   Cho   a ,   b ,   c   là các số thực sao cho phương trình   z 3   +   az 2   +   bz   +   c   = 0   có ba nghiệm phức lần lượt là   z 1   =   w   + 3 i ;   z 2   =   w   + 9 i ;   z 3   = 2 w      4 , trong đó   w   là một số phức nào đó. Tính giá trị của   P   =   | a   +   b   +   c | .  A   P   = 136 .   B   P   = 84 .   C   P   = 208 .   D   P   = 36 .  Câu 20.   Cho   z   là số phức có mô-đun bằng   2017   và   w   là số phức thỏa mãn   1  z   + 1  w   =   1  z   +   w   . Mô-đun của số phức   w   là  A   2017 .   B   0 .   C   2015 .   D   1 .  Câu 21.   Có bao nhiêu số phức   z   thỏa mãn   zz   = 10 ( z   +   z )   và   z   có phần ảo bằng   3   lần phần thực?  A   3 .   B   2 .   C   1 .   D   0 .  Câu 22.   Trên mặt phẳng tập hợp các số phức   z   =   x   +   yi   thỏa mãn   | z   + 2 +   i |   =   | z      3 i |   là đường thẳng có phương trình  A   y   =    x   + 1 .   B   y   =   x      1 .   C   y   =    x      1 .   D   y   =   x   + 1 .  Câu 23.   Cho số phức   z   thỏa mãn điều kiện   | z      1      i |   +   | z   + 1 + 3 i |   = 6  5 . Giá trị lớn nhất của  | z      2      3 i |   là  A   6  5 .   B   2  5 .   C   5  5 .   D   4  5 .  Câu 24.   Cho số phức   | z      1 + 2 i |   = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức   w   = 3      2 i   + (2      i ) z   là một đường tròn. Tính bán kính   R   của đường tròn đó.  A   R   = 20 .   B   R   = 7 .   C   R   = 2  5 .   D   R   =    7 .  Câu 25.   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      3      4 i |   =    5 . Gọi   M   và   m   là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P   =   | z   + 2 | 2    z      i | 2 . Tính mô-đun của số phức   w   =   M   +   mi .  A   | w |   = 3  137 .   B   | w |   = 2  309 .   C   | w |   =    2315 .   D   | w |   =    1258 .  Câu 26.   Mô-đun của số phức   z   thỏa mãn   | z      1 |   = 5   và   17 ( z   +   z )      5 z      z   = 0   bằng  A    53 .   B    34 .   C    29   và    13 .   D    29 .  Câu 27.   Xét các số phức   z   =   a   +   bi   ( a, b      R )   thỏa mãn   | z      3 + 3 i |   =    2 . Tính   P   =   a   +   b   khi  | z      1 + 3 i |   +   | z      3 + 5 i |     A   P   = 8 .   B   P   =    2 .   C   P   = 2 .   D   P   =    8 . Trang 2/24      Mã đề 903

300 câu vận dụng cao số phức ôn thi THPT môn Toán

Trang 1/21 C HỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI   VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC  A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  1.   Căn bậ c hai c  a s    ph  c:   Cho s    ph  c   w . M  i s    ph  c   z   th  a mãn   2  z   w =    c g  i là m   b  c hai c  a   w .     .  2.   Phương trình bậ c hai v  i h    s    thự c  Cho phương trình bậ c hai   (   ) 2   0   , ,   ;   0 ax   bx   c   a b c   a +   +   =          . Xét   2   4 b   ac       , ta có     0 :    phương trình có nghiệ m th  c   2  b x   a  = −   .     0    : phương trình có hai nghiệ m th  nh b  i công th  c:   1,2   2  b x   a         =   .     0    : phương trình có hai nghiệ m ph  nh b  i công th  c:   1,2 |   | 2  b   i x   a         =   .     Chú ý.     M  c   n   :   1 1   1 ...   0 n   n o   n   n A z   A z   A   z   A   +   +   +   +   =   luôn có   n   nghi  m ph  c (không nh  t thi  t phân bi  t).     H    th  c Vi–  i v  c hai v  i h    s    th  c:   Cho phương trình bậ c hai  (   ) 2   0   0 ax   bx   c   a +   +   =      có hai nghi  m phân bi  t   1   2 , x   x (th  c ho  c ph  c). Ta có h    th  c Vi–ét 1   2 1   2 .  b S   x   x   a c P   x x   a     =   +   = −       =   =    B.   KỸ NĂNG CƠ BẢN  1.   Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức     Trườ ng h  p   w là s    thự c:   N  u   a là m  t s    th  c  +   0, a   <   a   có các căn bậ c hai là   |   | i   a    . +   0 a   =   ,   a   có đúng một căn bậ c hai là 0. +   0 a   >   ,   a   có hai căn bậ c hai là   a    .  Ví d    1:   Ta có hai căn bậ c hai c  a – 1 là   i   và   i    . Hai căn bậ c hai c  a   2  a    (   a   là s    th  c khác 0) là  ai và   ai    .     Trườ ng h  p   (   ) ,   ,   0 w   a   bi   a b   b =   +         G  i   (   ) , z   x   yi   x y =   +         là m  c hai c  a   w khi và ch    khi   2  z   w =   , t  c là  (   )   2   2 2   2   2   2   2  x   y   a x   yi   a   bi   x   y   xyi   a   bi   xy   b        = +   =   +         +   =   +      =  M  i c  p s    th  c   (   ) ; x y   nghi    phương trình trên cho ta một căn bậ c hai   x   yi +   c  a s   ph  c   w   a   bi =   +   .  Ví d    2:   Tìm các căn bậ c hai c  a   5   12 w   i = −   +   . G  i   (   ) , z   x   yi   x y =   +         là m  c hai c  a s    ph  c   5   12 w   i = −   +   . Ta có   (   ) 2 2   2 2 2 2 4   3 5 5   12   6 2   12   2 3  x x   y x   y z   w   x   yi   i   xy   x y   x   y     =       =   =       = −        =      +   = −   +                 =   = − =                 = −   V  y   5   12 w   i = −   +   có hai căn bậ c hai là 2   3 i +   và   2   3 i       .  2.   Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ   số thực và các dạng toán liên quanTrang 2/21     Giải các phương trình bậ c hai v  i h    s    thự c  Ví d    3:   Gi  c hai sau:   2   1   0 z   z    +   = Ta có   2   4   3   0 b   ac       = −   <  Phương trình có hai nghiệ m ph  c phân bi  t là   1,2 1   3 2  i x    =   .     Giải phương trình quy về   phương trình bậ c hai v  i h    s    thự c  Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :     Bướ c 1: Nh  m 1 nghi  c bi  t c   + T  ng các h    s    trong phương trình là 0 thì phương trình có mộ t nghi  m   1 x   =   . + T  ng các h    s    bi  n b  c ch  n b  ng t  ng các h    s    bi  n b  c l    thì phương trình có mộ t nghi  m 1 x   = −   .  + Định lý Bơdu:  Ph  c   (   ) f   x   cho   x   a    b    c  a    c   (   ) f   x   t  i   . x   a = T  c là   (   )   (   )   (   )   (   ) f   x   x   a g   x   f   a =       H    qu  : N  u   (   )   0 f   a   =   thì   (   ) (   ) f   x   x   a    N  u   (   ) (   ) f   x   x   a     thì   (   )   0 f   a   =   hay   (   )   0 f   x   =   có m  t nghi  m   . x   a =    Bước 2: Đưa phương trình về   phương trình bậ c nh  t ho  c b  c hai b  c     v    trái của phương trình thành nhân tử   (dùng hẳng đả ng th  c ho  c s    dụng lược đồ  Hoocne) nh   V       thứ c   (   )   1 1   1   0 ... n   n n   n f   x   a x   a   x   a x   a   =   +   +   +   +   chia   cho   x   a    có   thương   là  (   )   1   2 1   2   1   0 ... n   n n   n g   x   b   x   b   x   b x   b         =   +   +   +   +   dư   r  n a   1 n a      2 n a      2 a   1 a   0 a  a   1 n   n b   a    =   2   1   2 n   n   n b   ab   a        =   +   3   2   3 n   n   n b   ab   a        =   +   1   2   2 b   ab   a =   +   0   1   1 b   ab   a =   +   0   0 r   ab   b =   +    Bướ c 3: Gi  c nh  t ho  c b  c hai, k  t lu  n nghi  m  Phương pháp 2: Đặ t    :     Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạ ng gi  ng nhau.    Bước 2: Đặ t    n ph  u ki  n c  a    n ph    (n  u có).    Bước 3: Đưa phương trình ban đầ u v    phương trình   b  c nh  t, b  c hai v  i    n m  i.    Bướ c 4: Gi  t lu  n nghi  m.  C.   KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH  1.   Chọn chế độ tính toán với số phức:   MODE 2 màn hình hiện CMPLX.  Nhập số thuần ảo   i   : Phím ENG  2.   Tìm các căn bậc hai của một số phức  Ví d    5:   Khai căn bậ c hai s    ph  c   3   4 z   i = −      có k  t qu  : Cách 1:    Mode 2 (CMPLX)    p hàm   2  X     dụng phím CALC, nhậ p t    vào, giá trị   nào ra kế t qu    b  ng   z   thì ta nhậ n. Cách 2:    Mode 1 (COMP)    n Shift + (Pol), ta nh  p   (   ) 3; 4 Pol      n Shift – (Rec), ta nh  p   (   ) Re   ,   : 2 c   X Y   , ta thu đượ c k  t qu    1;   2 X   Y =   =   .   y 2 s    ph  c c    1   2 i +   và   1   2 i    .

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

CH  NG 4. S    PH  C BÀI 1&2. KHÁI NI  M S    PH  C VÀ CÁC PHÉP TOÁN C  A S    PH  C A. LÝ THUY  T I. KHÁI NI  M V    S    PH  C 1. S    ph  c   nh ngh  a  Cho s    ph  c   z   có d  ng:       z   a   bi   v  i   ,       a b   , trong      a   g  i là ph  n th  c c  a   z   ,   b   g  i là ph  n    o c  a   z   ,   i   g  i là   n v     o th  a mãn   2   1  i   .   c bi  t:  T  p h  p các s    ph  c, kí hi  u là      . S    ph  c   z   là s    th  c n  u   0  b   . S    ph  c   z   là s    thu  n    o n  u   0  a   . S    ph  c   0   0   0        z   i   v  a là s    th  c, v  a là s     o (còn g  i là s    thu  n    o).  S    ph  c liên h  p  S    ph  c liên h  p c  a s    ph  c   z   , kí hi  u   z   , là       z   a   bi   .  Mô  un c  a s    ph  c  Mô  un c  a s    ph  c   z   , kí hi  u là   2   2      z   a   b   .  2. Hai s    ph  c b  ng nhau   nh ngh  a  Hai s    ph  c   1   1   1     z   a   b i   và   2   2   2     z   a   b i    c g  i là b  ng  Bài t  p:  +)   2 5   7            z   i   ;  +)   2             z   i   ; +)   4 ,   cos   , 3   12           z   i w   i u   i   ,... là các s    thu  n    o.  Bài t  p  +) S    ph  c   2 5   7      z   i có s    ph  c liên h  p là   2 5   7      z   i ; +) S    ph  c   4 3   z   i   có s    ph  c liên h  p là   4 3      z   i   .  Nh  n xét:   M  i s    th  c có s    ph  c liên h  p là chính nó.  Bài t  p:  S    ph  c   2 5   7      z   i   có mô  un  2 2   2   1229 5   7   7                         z  Bài t  p:  S    ph  c       z   a   bi   b  ng   0   khi và ch    khi   0 0          a bnhau khi và ch    khi   1   2 1   2          a   a b   b   .  3. Bi  u di  n hình h  c c  a s    ph  c  Trên m  t ph  ng t  a      Oxy   , m  i s    ph  c   ;   ,           z   a   bi a b   c bi  u di  n b  i    i  m   ( ; ) M   a b   . Ng  c l  i, m  i    i  m ( ; ) M   a b   bi  u di  n duy nh  t m  t s    ph  c là       z   a   bi   .  hay   0  z   .  Nh  n xét:  +)    OM   z   ;  +) N  u   1   2 , z   z   có các    i  m bi  u di  n l  n   l  t   là   1   2 , M   M   thì  1   2   1   2     M   M   z   z   .

Các dạng bài tập VDC khái niệm số phức và các phép toán của số phức

Tài li  u gi  ng d  y HS TB - Y  u hi  u qu    cao      FB Duong Hung  St - bs:   Duong Hung   -   Word xinh   2020 - 20 21   1Tài li  u gi  ng d  y HS TB - Y  u hi  u qu    cao      FB Duong Hung  St - bs:   Duong Hung   -   Word xinh   2020 - 20 21   2  FB: Duong Hung   A   -   Bài t  p minh h  a:  Câu 1 .   S    ph  c có ph  n th  c b  ng 3 và ph  n    o b  ng 4 là   . 3   4 . z   i =   +    . 4   3 . z   i =       . 3   4 . z   i =       . 4   3 . z   i =   +  L  i gi  i   Ch  n A  PP nhanh tr  c nghi  m     Ph  n    o là h    s    trư  c i, ph  n th  c là s    t   do.  Câu 2 .   Cho s    ph  c 2 z   i =   +   . Tính |   | z   .   . 5 z   =   .    . 3 z   =   .    . 2 z   =   .    . 5 z   =   .  L  i gi  i   Ch  n   D     Ta có 2   2  1   2   5 z   =   +   =   .  PP   nhanh tr  c nghi  m     Tính theo công th  c:     Casio:   MODE 2  Bài    :     NH NGHĨA S    PH  C   .   Phương pháp:   .   S    ph  c   có d  ng   .   .   Ph  n th  c c  a   là   , ph  n    o c  a   là   .   .   S    ph  c   có ph  n    o b  ng     c coi là s    th  c và vi  t là   .   .   S    ph  c   có ph  n th  c b  ng     c g  i là s     o (hay s    thu  n    o) .   .   S    0 v  a là s    th  c, v  a là s     o.   .   Mô đun c  a s    ph  c   là   .   .   S    ph  c liên h  p c  a   là   .   .   Cho hai s    ph  c   ,   . Khi đó:     D  ng    :   Xác đ  nh các y  u t    cơ b  n c  a s    ph  c  CHƯƠNG    :  Full Chuyên      12 new  2020 - 2021

Chuyên đề số phức dành cho học sinh trung bình – yếu – Dương Minh Hùng

Gv : Lương Văn Huy      Thanh Trì      HN   -   0969141404  1  BÀI TOÁN MAX      MIN S   N       TR    GIÚP KÌ THI 2018 .  Tài li         D   K      Phương pháp đ      Phương pháp h       Phương pháp bđt modun.     Phương pháp casio.  M   1.   Môđun c      S        z   a   bi                   OM        2   2  z = a + bi =   a   + b     Tính ch      2   2                 z   a   b   zz   OM      0,   ,   0   0               z   z   z   z     . '   .   '  z z   z   z          ,   '   0  '   '       z   z   z  z   z      '   '   '              z   z   z   z   z   z     .   ,        kz   k   z   k      Chú ý:   2 2 2   2   2   2   2   2   2   2   2   2  2   (   )   4   .                                z   a   b   abi   a   b   a b   a   b   z   z   z z   .  Lưu        1   2   1   2         z   z   z   z   d        1   2   0        z   kz   k     1   2   1   2         z   z   z   z   d        1   2   0        z   kz   k   .     1   2   1   2         z   z   z   z   d        1   2   0        z   kz   k     1   2   1   2         z   z   z   z   d        1   2   0        z   kz   k         2   2   2   2  1   2   1   2   1   2  2              z   z   z   z   z   z     2 2      z   z z   z       z  2. M     Bi      , x y   Qu   ax   0        by   c   (1)               z   a   bi   z   c   di   (2)  (1)Đư    :ax   0           by   c  (2) Đư   v                  ,   ,   , A a b   B c d             2   2   2            x   a   y   b   R   ho          z   a   bi   R           ; I a b   , bán kính   R             2   2   2            x   a   y   b   R   ho    Hình tròn tâm       ; I a b   , bán kính   RGv : Lương Văn Huy      Thanh Trì      HN   -   0969141404  2         z   a   bi   R             2   2 2   2               r   x   a   y   b   R   ho             r   z   a   bi   R  Hình vành kh      tròn           ; I a b   , bán kính l      , r R       2  2   0                            y   ax   bx   c   c  x   ay   by   c  Parabol                   2   2  2   2   1 1            x   a   y   c  b   d   ho   1   1   2   2   2                 z   a   b i   z   a   b i   a      1   Elip      2   Elip n              1   1   2   2  2   ,   ,   ,   ,  a   AB   A a   b   B a   b      2    a   AB             2   2  2   2   1            x   a   y   c  b   d  Hypebol  M       D    Qu     TQ1:   Cho s    z   th     z   a   bi   z          , tìm   Min  z   . Khi đó ta có     Qu        M x; y   bi    z   là đư    OA   v        A a; b    2   2  0  1   1  2   2  2   2                            Min  z   z   a   b  a   b  z   i  TQ2:   Cho   s         .              z   a   bi   z   c   di   Tìm   min  z   . Ta có     Qu    tích          M x; y   bi    diễn   số   phức   z   là       trung   trực      AB   v             A a; b ,B c; d                      2   2   2   2  2   2  ,  2                       Min  a   b   c   d  z   d O AB  a   c   b   d  Lưu            bi       d     Ví d      Cho   s         .              z   a   bi   z   c   di   Khi đó ta bi   .                                z   a   bi   z   c   di   z   a   bi   z   c   di     Cho   s         .              iz   a   bi   z   c   di   Khi đó ta bi 

Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy

SỐ PHỨC  MÔN TOÁN – KHỐI 12  CHINH PHỤC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC  CÂU HỎI   &   LỜI GIẢI CHI TIẾT  TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ  NĂM HỌC: 2020 – 2021Chuyên Đề:   SỐ PHỨC   HOÀNG TUYÊN      MINH TÂM  TÀI LIỆU TỰ HỌC KHỐI 12   Trang | 2  MỤC LỤC  ...................................................................................................................................................................... 1     DẠNG TOÁN 1: CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC   ............................................................................ 3     DẠNG TOÁN 2: PHẦN THỰC – PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC  ................................................. 10     DẠNG TOÁN 3: SỐ PHỨC LIÊN HỢP   ........................................................................................ 13     DẠNG TOÁN 4: MODULE SỐ PHỨC   ......................................................................................... 17     DẠNG TOÁN 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT  ....................................................................... 22     DẠNG TOÁN 6: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI & MỐI LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM   ... 28     DẠNG TOÁN 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO  .......................................................................... 44     DẠNG TOÁN 8: BIỂU DIỄN SỐ PHỨC   ...................................................................................... 52     DẠNG TOÁN 9: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC   ....................................................... 66     DẠNG 9.1: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG THẲNG   ...................................................... 66     DẠNG 9.2: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN   .......................................................... 72     DẠNG 9.3: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG CONÍC   ........................................................ 79     DẠNG TOÁN 10: MAX – MIN CỦA MODULE SỐ PHỨC   ..................................................... 83

400 bài tập trắc nghiệm số phức có đáp án và lời giải chi tiết

NHÓM   TOÁN   VD      VDC     NG BĐT VÀ BĐT MÔ   -     https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   T rang   1  NHÓM TOÁN VD      VDC   NHÓM TOÁN VD      VDC  NHÓM   TOÁN   VD   -   VDC       VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MÔ ĐUN  NĂM HỌC 2020      2021  M  i s    ph  c,      khía c  nh đ  i s  , là nghi  m tương    ng duy nh  t m  t tam th  c b  c hai monic  h    s    th  c có bi  t th  c âm. N  u z   là nghi  m c  a 2  ( ) f x   x   ax   b =   +   +   v  i , a b      v  2   4   0 a   b         thì nghi  m còn l  i s    g  i là li   p c  a nó. Tích hai nghi  m s    là b   và là m  t  s    không âm. Căn b  c hai c  a b   g  i là module.     khía c  nh hình h  c, m  i s    ph  c s    là c  p t  a đ    c  a m  t vector, và đ    l  n c  a vector đó  chính là module.  Mo dule c  a s    ph  c. S    ph  c liên h  p: (   )  , z   a   bi a b =   +     thì module c  a z   là 2   2  z   a   b =   +   ; S    ph  c liên h  p c  a z   là z   a   bi =     Ta có: Ph  n th  c c  a z   là R e   2  z   z z   + =   , ph  n    o c  a z   là I m   2  z   z z    =   ; 1 2   1   2 zz   z   z =  , 2  z   zz =   ; 1   2   1   2 z   z   z   z +   =   +   , 1   2   1   2 zz   z z =   , z   z =   ; 1 1 2   2  z z z   z  =   , (   )  1   1 2 2   2  0  z   z   z z   z                  .  1 / Đ  ng th  c Mô   -     + (   )  2   2 2 2   2 1   2   1   2   1   2   1   2 .   . m z   nz   m   z   n   z   m n z z   z z +   =   +   +   +   v  i , m n      và 1   2 , z z      .  + 2   2 2 2   1   2   1   2 1   2   2   2   2  z   z   z   z z   z   z   z   z      +    +   +   +   =   +   +               v  i 1   2 , , z z z      .  + 2   1 1   2   1   2 1   2  z   z z   z   z   z z   z  +   =   +   v  i 1   2 , z   z   là các s    ph  c khác 0   .  +N  u 2  , , 0 4   0  a b c a b   ac                     thì   phương   trình 2   0 az   bz   c +   +   =   có   hai   nghi  m   ph  c   không  th  c 1, 2   2  b   i z   a         =   . D    th  y 1   2   1   2 z   z   z   z =      =   .  2/ BĐT Mô   -     LÝ THUY  T I .  =INHÓM   TOÁN   VD      VDC     NG BĐT VÀ BĐT MÔ   -     https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   T rang   2  NHÓM TOÁN VD      VDC   NHÓM TOÁN VD      VDC  L  p 7: A B   B C   A C   A B   B C          +   .  L  p 10: a   b   a   b   a   b       +      +   .  L  p 12: 1   2   1   2   1   2 z   z   z   z   z   z       +      +   .  + 1   2   1   2 z   z   z   z   z   z +   +   +         . Đ  ng th  c x  y ra khi và ch    khi (   )   (   ) (   )   (   )       (   )  (   )   (   )  1   1   2 2   2   1 2 1   2   2  ;   0;1 0 ;   0;   ;   0  z   z   k   z   z   z   z   k   k z   z   k   z   z   z   z z   z z   z   k z   z   z   z   k   k     +   =   +   +                         +   =   +   +                      +   =     +   =   +   +             .  + 1   2   1   2 z   z   z   z   z   z +      +         . Đ  ng th  c x  y ra khi và ch    khi (   )   (   )  (   )   (       )  (   )  (   )   (   )  1   1   2 2   1   2 2 1   2   2  ,   ;0   1; 0 ;   0;   ,   0  z   z   k   z   z   z   z   k   k z   z   k   z   z   z   z z   z z   z   k z   z   z   z   k   k     +   =   +   +                           +     +   =         +   +                +   =     +   =   +   +             .  Câu 1 :   Minh   Ho  - T4/N2021  Xét   hai   s    ph  c 1   2 , z   z   th  a   mãn 1   2 1,   2 z   z =   =   và 1   2   3 z   z    =   .   Giá   tr    l  n   nh  t 1   2 3   5 z   z   i +     b  ng   . 5   19    .    . 5   19 +   .    . 5   2   19    +   .    . 5   2   19 +   .  a     nh hư  ng  T  t c    gi    thi  t c  a đ    bài đ  u nói v    Mô đun c  a s    ph  c, chính vì th    ta xét: 2 1   2 m z   nz +   .  B  ng tính toán ta có k  t qu  : (   )  2   2 2 2   2 1   2   1   2   1   2   1   2 .   . m z   nz   m   z   n   z   m n z z   z z +   =   +   +   +   . Trong đó , m n  là các s    th  c và 1   2 , z   z   là các s    ph  c. Như v  y t    gi    thi  t ta s    tính đư  c 1   2 3 z   z +   và      bài toán quen thu  c.  b   L  i gi  i tham kh  o  L  i gi  i  + (   )  2   2 2 1   2   1   2   1   2   1   2 3   .   . z   z   z   z   z z   z z =      =   +      + (   )  1   2   1   2 5   .   . z z   z z =      + (   )  1   2   1   2 .   .   2 z z   z z    +   =   ; (   )  2 2 1   2   1   2   1   2   1   2 3   9   3   .   .   19 z   z   z   z   z z   z z +   =   +   +   +   =  .  +Áp d  ng b  t đ  ng th  c mô đun, có : (   )   (   )  1   2   1   2   1   2 3   5   3   5   3   5 z   z   i   z   z   i   z   z   i +         +   +         +   + − 1   2 3   9 5   1   5   1 9   5 z   z   i +          +      .  M  T S    VÍ D  II .  =I

Áp dụng đẳng thức và bất đẳng thức mô đun tìm GTLN – GTNN của mô đun số phức

CÁC DẠNG TOÁN CÓ YẾU TỐ MAX- MIN TRONG SỐ PHỨC  Giáo viên: Trương Đức Thịnh – Nguyễn Thu Hằng  Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2021  Bài toán có yếu tố max-min trong số phức là một trong những dạng toán khó ở trong chương  trình môn Toán THPT và thường được lựa chọn ở các câu VD-VDC mang tính phân loại thí sinh.  Trong đề tham khảo của bộ năm 2021 cũng có một câu ở mức độ như vậy. Chúng ta cùng phân  tích câu 49 dưới những góc nhìn khác nhau để tìm ra các hướng xử lý cho dạng toán này.  A.   Phân tích bài toán số phức trong đề tham khảo 2021  Ví dụ 1. (Câu 49-Đề tham khảo 2021)   Xét hai số phức   1   2  , z   z   thỏa mãn       1   2  1,   2 z   z  và       1   2   3 z   z   . Giá trị lớn nhất       1   2  3   5 z   z   i   bằng  A.    5   19   .   B.    5   19   .   C.       5   2   19   .   D.    5   2   19   .  Phân tích hướng giải    +) Hướng 1: Sử dụng các phép toán số phức liên quan tới môđun để đưa bài toán về  hàm số một biến rồi khảo sát hoặc dùng các bất đẳng thức để đánh giá.  +) Hướng 2: Đưa về bài toán cực trị hình học quen thuộc  Căn cứ vào yêu cầu bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức       1   2  3   5 z   z   i   có dạng  môđun của một tổng, bài toán có thể được giải quyết nếu    1   2  3 z   z   là một hằng số, từ đó  ta mạnh dạn đi tính    1   2  3 z   z   từ các giả thiết của bài toán. Sau đó ta sẽ sử dụng một trong  2 hướng kể trên hoặc tổng hợp các hướng để kết thúc bài toán.Lời giải tham khảo  + Trước hết ta tính    1   2  3 z   z   ta có một vài cách tính như sau  Cách 1: Tính toán trực tiếp    của số phức để biến đổi.               1   2  , z   a   bi z   c   di   với   , , , a b c d         và    2   1. i   Theo giả thiết ta suy ra                                         2   2  1  2   2  2  2   2  1   2  1   1  2   4  =   3   (   )   (   )   3.  z   a   b  z   c   d  z   z   a   c   b   d  Khai triển và rút gọn                            2   2   2   2  2   2   3   1. a   ac   c   b   bd   d   ac   bd  Ta có                1   2  3   (3   )   (3   ) z   z   a   c   b   d i   nên                                     2   2   2   2   2   2   2  1   2  3   (3   )   (3   )   9(   )   (   )   6(   )   19. z   z   a   c   b   d   a   b   c   d   ac   bd  Suy ra       1   2  3   19 z   z   .  Cách 2: Sử dụng các đẳng thức môđun                        2   2   2  2   2  1   2   1   2   1   2   1   2  . mz   nz   m   z   m   z   mn z z   z z   .       2  . z   z z   và          1   2   1   2  z   z   z   z  Thật vậy                       2  1   2   1   2   1   2   1   2   1   2  . mz   nz   mz   nz   mz   nz   mz   nz   mz   nz                          2   2  2   2  1   2   1   2   1   2  m   z   m   z   mn z z   z z             (điều phải chứng minh).                                     2   2   2  1   2   1   2   1   2   1   2   1   2   1   2  3   9   3   .   13   3   . z   z   z   z   z z   z z   z z   z z   .

Các dạng toán có yếu tố max – min trong số phức

A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.        Lưu ý:  2.   Bất đẳng thức tam giác     1   2   1   2 z   z   z   z          dấu bằng xảy ra khi   1   2 z   kz    với   0 k      .     1   2   1   2 z   z   z   z          dấu bằng xảy ra khi   1   2 z   kz    với   0 k      .     1   2   1   2 z   z   z   z          dấu bằng xảy ra khi   1   2 z   kz    với   0 k      .     1   2   1   2 z   z   z   z          dấu bằng xảy ra khi   1   2 z   kz    với   0 k      .  3.   Bất đẳng thức AM-GM  Với   1   2 ,   ,...,   n a   a   a   không âm ta luôn có   1   2   1   2 ...   .   .... n n   n a   a   a   n   a a   a             ,   n   là số tự nhiên lớn hơn 1.Dấu bằng xảy ra khi   1   2   ...   n a   a   a       .  4.   Bất đẳng thức Bunyakovsky                2 2   2   2   2   2   2 1   2   1   2   1   1   2   2 ....   ....   ... n   n   n   n a   a   a   b   b   b   a b   a b   a b                              Dấu bằng xảy ra khi   1   2 1   2 ...   n  n  a a   a b   b   b          B.   BÀI TẬP  Kĩ   thuật 1:     Kĩ thuật này chúng ta tận dụng các phép đánh giá     a   b   a   b            a   b   a   b         Câu 1.   Cho số phức   z   thỏa mãn   2   1 z   i       . Giá trị lớn nhất của   z   là  A.   5   .   B.   2   .   C.   2   2   .   D.   2   .  Phân tích     Nhận thấy bên trong mô đun chỉ có 1 vị trí chứa   z   bởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai modun   2  z   i    ,   z   với nhau.     Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các mô đun với nhau  a   b   a   b          và   a   b   a   b          .  Lời giải  Ta có:   2 2   2   1 z   i   z   i   z                . Do đó   2 1   1 z         2 2 z       0   2 z          . Với   1 z   i       , ta có   2   1 z   i   i          và   2 z      . Do đó   max   max   2 z   z       . Vậy chọn     CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN - GTNN MÔĐUN SỐ PHỨCCâu 2.   Cho số phức   z   thỏa mãn   z   không phải số thực và   2 w   2  z  z        là số thực .   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   1 P   z   i          .  A.   2   2   .   B.   2   .   C.   2   .   D.   8   .  Phân tích        2 w   2  z  z        là số thực nên ta tìm cách biểu diễn số phức   z   theo số thực đó. Sau đó ta nhận thấy   z   là ẩn của phương trình bậc hai. Từ đó ta sẽ tìm được   z   .     Nhận thấy bên trong mô đun chỉ có 1 vị trí chứa   z   bởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai modun   1 z   i       ,   z   với nhau.     Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau  a   b   a   b          và   a   b   a   b          .  Lời giải  Ta có          2   2 2 1 w   w 2   2   0   * 2   w  z   z   z   z   z z                           . (*) là phương trình bậc hai với hệ số thực   1 w         . Vì   z   thỏa       *   nên   z   là nghiệm phương trình       *   . Gọi   1   2 , z   z   là hai nghiệm của (*). Suy ra   1   2   1   2   1   2 2   2   2   2 z z   z z   z   z   z                      . Suy ra   1   1   2   2   2   2 P   z   i   z   i                            . Dấu bằng xảy ra khi   1 z   i       . Vậy chọn     Câu 3.   Cho số phức   z   thỏa   2 z      . Tìm tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức   z   i  P   z       .  A.   3   .  4   B.   1 .   C.   2   .   D.   2   .  3 Phân tích     Nhận thấy   z   i  z     có thể viết lại thành   1   i  z     tức là bên trong cũng chỉ có một vị trí chứa   z   . Nên ta tìm cách đánh giá   z   i  z     với   z   .     Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau  a   b   a   b          và   a   b   a   b          .  Lời giải Chọn A  Ta có   1   3 1   1   . |   |   2  i P   z   z                 Mặt khác:   1   1 1   1   . |   |   2  i z   z             Vậy giá trị nhỏ nhất của   P   là   1 2   , xảy ra khi   2 ; z   i    giá trị lớn nhất của   P   bằng   3 2   xảy ra khi 2 . z   i   Câu 4.   Xét số phức   z   thỏa mãn   2   1   3   2   2 z   z   i             . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?